Смешайте яйца, желток, молоко, сахар и соль в кухонном процессоре. Не выключая процессор, постепенно всыпьте муку. Вымесить однородное тесто без комков. Дайте постоять при комнатной температуре 30 минут и влейте газированную воду, перемешайте. Прогрейте на среднем огне сковороду диаметром 20 см и смажьте половиной чайной ложки растопленного сливочного масла. Снимите сковороду с огня и влейте 3 столовые ложки теста, поворачивая сковороду, чтобы тесто растеклось по всему дну. Жарьте 1 минуту до золотистого цвета, затем переверните блин и жарьте 10 секунд с другой стороны. Укладывайте готовые блины стопкой. Для начинки замочите сухие грибы на полчаса в курином бульоне и порубите. Воду из-под грибов процедите через очень мелкое сито. Растопите сливочное масло в сковороде и обжарьте на среднем огне лук с чесноком и грибами до мягкости лука. Всыпьте в сковороду ломтики свежих шампиньонов и жарьте, пока из них не начнет выделяться вода. Прибавьте огонь до умеренного, влейте воду, оставшуюся после замачивания грибов, и держите на огне примерно 5 минут, пока вся вода не впитается. Влейте вермут и потушите еще 2 минуты. Приправьте солью и черным перцем, добавьте сливки, сметану и половину сыра; перемешайте. Убавьте огонь до среднего уровня и тушите еще 5 минут, пока соус слегка не загустеет. Снимите с огня. Для приготовления блинчатого пирога уложите на дно смазанной круглой формы для торта диаметром 20 см круг пергаментной бумаги. Уложите на бумагу один блин и выложите сверху 1/4 стакана начинки, размазав ровным слоем. Повторяйте, чередуя блины и начинку, пока не израсходуете все, так чтобы наверху оказался блин. Смешайте соус с оставшимся сыром и укропом. Смажьте полученной смесью верхний блин. Посыпьте панировочными сухарями и уложите сверху кусочки сливочного масла. Запекайте при 200С 15 минут, пока верх не зарумянится. Перед подачей на стол дайте постоять 15 минут, чтобы пирог немного остыл. Готовый пирог разрежьте на 8 кусочков и подавайте по одному на порцию. Можно урасить рубленым зеленым луком и небольшой горкой русской икры.